Question

有下列命題：
①過(guò)雙曲線xy=k（k＞0）上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

2

k；
②曲線xy=k（k＞0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③一系列雙曲線xy=(

1

4

)n(n=1，2，3，…)，所有這些雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)之和為2

2

；
④“xy=k（k＞0）被直線x+y=2

2k

(k＞0)所截得的線段與x²-y²=k（k＞0）被直線x=2

2k

(k＞0)所截得的線段相等”是必然事件．其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸；通過(guò)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)公式求出實(shí)軸長(zhǎng)的和．

解答：解：xy=k即y=

k

x

，
令f（x）=

k

x

，
∵f（-x）=

k

-x

=-

k

x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)故②正確；
一系列雙曲線xy=(

1

4

)n(n=1，2，3，…)，
所有這些雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)之和為2

2

故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查判斷函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、雙曲線的弦長(zhǎng)公式、實(shí)軸長(zhǎng)的公式．