Question

設橢圓上一點P到左準線的距離為10，F是該橢圓的左焦點，若點M滿足=（+），則=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據a²-b²=c²求出左焦點F的坐標，根據橢圓的準線公式x=-求出左準線方程，然后設P的坐標（x，y），根據兩點間的距離公式求出P到準線方程的距離讓其等于10求出x，然后再把x的值代入到橢圓方程中得到P的坐標，由=（+）得到M為PF的中點，根據中點坐標公式求出M的坐標，利用兩點間的距離公式求出即可．
解答：解：由橢圓得a=5，b=4，
根據勾股定理得c=3，則左準線為，左焦點F（-3，0），
設P（x，y），因為P到左準線的距離為10，列出=10，
解得x=或x=-（舍去）；
又P在橢圓上，則將x=代入到橢圓方程中求出y=，
所以點P（，）；
由點M滿足=（+），則得M為PF中點，
根據中點坐標公式求得M（-，±），
所以=
故答案為2．
點評：本題是一道綜合題，考查學生掌握橢圓的一些簡單性質，會利用兩點間的距離公式及中點坐標公式、點到直線的距離公式化簡求值，同時也考查學生掌握向量的運用法則及向量模的求法，做題時要求學生知識面要寬，綜合運用數學知識解決問題．