Question

對定義域分別是D_f、D_g的函數y=f（x）、y=g（x），規定：函數h(x)=

f(x)•g(x)  當x∈Df且x∈Dg f(x)          當x∈Df且x∉Dg g(x)          當x∉Df且x∈Dg

．
（1）若函數f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，寫出函數h（x）的解析式；
（2）求問題（1）中函數h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于函數f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，對x進行分類討論：當x≠0時，h（x）=f（x）g（x）；當x=0時，h（x）=x²+4．從而得出h（x）的解析式；
（2）對于x的取值進行分類：若x＞0；若x＜0；分別求得它們的最值，最后綜合即得函數h（x）的值域．

解答：解：（1）由于函數f(x)=

1

x

，g（x）=x²+4，根據題意得：
當x≠0時，h（x）=f（x）g（x）=

x 2+4

x

；
當x=0時，h（x）=x²+4．
h（x）=

x 2+4 x ，x≠0 x 2+4，x=0

…（5分）
（2）當x≠0時，h(x)=x+

4

x

若x＞0⇒h（x）≥4其中等號當x=2時成立，…（8分）
若x＜0⇒h（x）≤-4其中等號當x=-2時成立，…（10分）
∴函數h（x）的值域為（-∞，-4]∪[4，+∞）…（12分）

點評：本小題主要考查函數的值域、函數解析式的求解及常用方法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．