Question

設f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)．

(1)確定a的值；

(2)求函數f(x)的單調區間與極值．

 

Answer 1

(1) a＝(2) f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數；當2<x<3時，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數．f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln 3.

【解析】(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，

故f′(x)＝2a(x－5)＋令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，

所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，

由點(0,6)在切線上可得6－16a＝8a－6，故a＝.

(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝?

令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.當0<x<2或x>3時，f′(x)>0，

故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上為增函數；

當2<x<3時，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數．

由此可知f(x)在x＝2處取得極大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3處取得極小值f(3)＝2＋6ln 3.