Question

設(shè)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，F(xiàn)₁、F₂是左、右焦點，是雙曲線上一點，且∠F₁PF₂=60⁰，S△PF1F2=12

3

，又離心率為2，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線的定義列出一方程，在△F₁PF₂中利用余弦定理得到一方程，利用三角形的面積公式得一方程，利用雙曲線的離心率公式得一方程，解方程組求出雙曲線的方程．

解答：解：不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，|PF₁|=m，|PF₂|=n則有
m-n=2a①
∠F₁PF₂=60⁰
由余弦定理得
m²+n²-2mncos60°=4c²②
∵S△PF1F2=12

3

∴

1

2

mnsin60°=12

3

③
∵離心率為2
∴

c

a

=2④
解①②③④a=2，c=4
∴b²=c²-a²=12
雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：求圓錐曲線的方程問題，一般利用的方法是待定系數(shù)法；解圓錐曲線上的一點與兩個焦點構(gòu)成的焦點三角形問題，一般考慮余弦定理及三角形的面積公式．