Question

將如圖1的直角梯形ABEF（圖中數字表示對應線段的長度）沿直線CD折成直二面角，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖2所示．
（I）證明：直線BE∥平面ADF；
（II）求面FBE與面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）取DF的中點為G，連接AG，EG，故GE

∥ .

.

CD

∥ .

.

AB，所以四邊形ABEG為平行四邊形，由此能夠證明BE∥平面ADF．
（II）延長FE與DC交于H，連接BH，則BH是平面FBE與平面ABCD的交線，由∠FDC=

π

2

，且F-DC-A為直二面角，知FD⊥平面ABCD，故FD⊥BH，又CE

∥ .

.

1

2

FD，所以在Rt△BCH中，∠CBH=

π

4

，由此能夠求出平面FBE與平面ABCD所成角的正切值．

解答：（I）證明：取DF的中點為G，連接AG，EG，
∴GE

∥ .

.

CD

∥ .

.

AB，
∴四邊形ABEG為平行四邊形，
∴BE∥AG，
∵AG?平面ADF，BE?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
（II）解：延長FE與DC交于H，連接BH，
則BH是平面FBE與平面ABCD的交線，
∵∠FDC=

π

2

，且F-DC-A為直二面角，
∴FD⊥平面ABCD，
∴FD⊥BH，
又CE

∥ .

.

1

2

FD，
∴DC=CH，
∴BC=CH，
∴在Rt△BCH中，∠CBH=

π

4

，
∴BH⊥BD，
∴BH⊥平面BDF．
∴∠DBF就是二面角F-BH-A的平面角，
在Rt△BDF中，∠BDF=

π

2

，DF=2，BD=

2

，
∴tan∠DBF=

DF

BD

=

2

2

=

2

，
∴平面FBE與平面ABCD所成角的正切值為

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化立體問題為平面問題．