Question

設0＜α＜π，π＜β＜2π，若對任意的x∈R，都有關于x的等式cos（x+α）+sin(x+β)+

2

cosx=0恒成立，試求α，β的值．

Answer 1

分析：利用兩角和公式對題設等式整理，根據等式恒成立聯立方程求得cosα的值，根據α的范圍確定α的值，進而根據cosβ=sinα求得cosβ的值，根據β的范圍求得β．

解答：解：化簡得：(cosα+sinβ+

2

)cosx+(cosβ-sinα)sinx=0
則：關于x的等式cos（x+α）+sin(x+β)+

2

cosx=0恒成立的充要條件是：

cosα+sinβ+ 2 =0 cosβ-sinα=0

?

sinβ=-cosα- 2 cosβ=sinα

平方得：cosα=-

2

2

，
又因為：0＜α＜π，所以：α=

3π

4

所以：cosβ=sinα=

2

2

，而π＜β＜2π，所以：β=

7π

4

點評：本題主要考查了三角函數的最值問題，兩角和公式的化簡求值．考查了學生分析問題的能力，邏輯推理能力．