Question

16、如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列四個命題：
①P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②P在直線BC₁上運動時，直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；
③P在直線BC₁上運動時，二面角P-AD₁-C的大小不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，則M點的軌跡是過D₁點的直線，其中真命題的編號是

①③④

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，底不變，所以體積不變．
②通過舉例說明，如直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等．
③P在直線BC₁上運動時，可知AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響．
④M在平面A₁B₁C₁D₁內，而點D和C₁距不在平面A₁B₁C₁D₁內，且距離相等，則點M的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線．而DD₁=D₁C₁，所以必過D₁點．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一點到平面AD₁C的距離相等，所以體積不變，正確．
②P在直線BC₁上運動時，直線AB與平面ACD₁所成角和直線AC₁與平面ACD₁所成角不相等，所以不正確．
③當P在直線BC₁上運動時，AP的軌跡是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影響，所以正確．
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，∴M點的軌跡是一條與直線DC₁平行的直線，而DD₁=D₁C₁，所以正確．
故答案為：①③④

點評：本題主要考查三棱錐體積的轉化，線面角，二面角以及點的軌跡問題，考查全面，靈活，是一道好題．