Question

8．設函數$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+（a+1）x+1$，其中a為實數．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若不等式f'（x）＜-4x+2+a對任意x∈（1，+∞）都成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f′（1），求出a的值即可；（Ⅱ）問題轉化為$a＜\frac{1-x}{x^2}恒成立$，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=ax²-3x+（a+1），
∵f（x）在x=1處取極值，
∴f'（1）=a-3+a+1=0，
解得a=1…（4分）
（Ⅱ）∵f'（x）＜-4x+a+2恒成立，
即ax²-3x+（a+1）＜-4x+2+a，
化簡得$a＜\frac{1-x}{x^2}恒成立$，
$a＜\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，$令t=\frac{1}{x}（t∈（0，1））$…（8分）
$g（t）={t^2}-t，a＜g{（t）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$，
∴$a的取值范圍為（-∞，-\frac{1}{4}）$…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查轉化思想，是一道中檔題．