Question

右圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設點是的中點，證明：平面；

（2）求二面角的大小；

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見試題解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證線面平行，一般根據線面平行的判定定理，在平面內找到一條與平行的直線即可.為此我們取中點D，證明// .（2）要求二面角的大小，一般是先作出二面角的平面角，通過求這個平面角來求出二面角．由于該幾何體的三個側面都是直角梯形，易計算得，，，從而，所以。那么二面角的平面角可以直接在平面內過點作，或者作平面，垂足為，連接，由三垂線定理知，就是所作平面角。

試題解析：（1）證明：作交于，連．

則．

因為是的中點，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

（2）如圖，過作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因為面，所以，則平面．

又因為，，．

所以，根據三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因為，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

考點：（1）線面平行；（2）二面角.