Question

直線l₁和l₂是圓x²+y²=2的兩條切線，若l₁與l₂的交點為（1，3），則l₁與l₂的夾角的正切值等于

 

．

Answer 1

考點：兩直線的夾角與到角問題

專題：直線與圓

分析：設l₁與l₂的夾角為2θ，由于l₁與l₂的交點A（1，3）在圓的外部，由直角三角形中的邊角關系求得sinθ=

r

OA

的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根據tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

，計算求得結果．

解答： 解：設l₁與l₂的夾角為2θ，由于l₁與l₂的交點A（1，3）在圓的外部，
且點A與圓心O之間的距離為OA=

1+9

=

10

，
圓的半徑為r=

2

，
∴sinθ=

r

OA

=

2

10

，
∴cosθ=

2 2

10

，tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

2

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

1

1- 1 4

=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點評：本題主要考查直線和圓相切的性質，直角三角形中的變角關系，同角三角函數的基本關系、二倍角的正切公式的應用，屬于中檔題．