Question

(本小題滿分13分)已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的
底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F為棱BB₁的中點(diǎn)，
M為線段AC₁的中點(diǎn).  （1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁與與平面ABCD所成二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ)見解析  （Ⅲ）30°或150°

法一：
（1）延長(zhǎng)C₁F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN。因?yàn)镕是BB₁的中點(diǎn)，
      所以F為C₁N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)。····2分
又M是線段AC₁的中點(diǎn)，故MF∥AN。·····3分
又MF平面ABCD，AN平面ABCD。
∴MF∥平面ABCD。                                ···5分
（2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁
可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，
∴A₁A⊥BD。∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD。
又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。
∴BD⊥平面ACC₁A₁。                                                              ·················7分
在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因?yàn)?i>NA平面AFC₁
∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁
（3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補(bǔ)角。···10分
在Rt△C₁AC中，tan，故∠C₁AC=30°···12分
∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。···13分