Question

（文科）（1）若數列{a_n1}是數列{a_n}的子數列，試判斷n₁與l的大小關系；
（2）①在數列{a_n}中，已知{a_n}是一個公差不為零的等差數列，a5=6．當a₃=2時，若存在自然數n₁，n₂，…，n_l，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_l＜…且a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…是等比數列，試用t表示n₁；
②若存在自然數n₁，n₂，…，n_l，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_l＜…且a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…構成一個等比數列．求證：當a3是整數時，a₃必為12的正約數．

Answer 1

分析：（1）利用數列{a_n1}是數列{a_n}的子數列，判斷出n_t≥t
（2）①求出數列{a_n}的公差，利用等差數列的通項公式求出數列a_n，求出數列{a_n1}的公比；利用ant是數列{a_n}的第n_t項求出值同時是數列{a_n1}的第t項利用等比數列的通項公t表示n₁式求出值，兩個方法求出的值相等，列出方程得到n_t=3^t+1+2．
②分別通過兩個數列表示出同一個項an1，列出關于a₃，n₁的方程，據各個數的特殊性，證出結論．

解答：解（1）∵數列{a_n1}是數列{a_n}的子數列
∴n_t≥t；
（2）①因為a3=2，a5=6，所以公差d=

a5-a3

5-3

=2，
從而n_t≥ta_n=a₅+（n-5）d=2n-4，
又a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…是等比數列，
所以公比q=

a5

a3

=3
所以ant=a5•3t=2•3t+1
又ant=2nt-4
所以2n_t-4=2•3^t+1
所以n_t=3^t+1+2
②因為n1＞5時，a3，a5，an1成等比數列，所以a3•an1=a52，即an1= 

a52

a3

=

36

a3

又{a_n}是等差數列，所以an1=a3+(n1-3)•

a5-a3

2

=a3+

6-a3

2

(n1-3)
所以

36

a3

=a3+

6-a3

2

(n1-3)即

36

a3

-a3=

6-a3

2

(n1-3)，
所以

36-a32

a3

=

6-a3

2

(n1-3)，因為6-a₃≠0
所以

6+a3

a3

=

n1-3

2

解得n1=5+

12

a3

．
因為n₁是整數，且n₁＞5所以

12

a3

是正整數，從而整數a₃必為12的正約數．

點評：在解決同一個項分別充當兩個不同數列的項，關鍵是判斷出其分別是兩個數列的項數，然后利用不同的通項公式表示出其值，列出方程，找關系．