Question

如圖，在三棱錐中，平面，，為側棱上一點，它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示.

（1）證明：平面；
（2）在的平分線上確定一點，使得平面，并求此時的長.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：試題分析：（1）先利用三視圖將幾何體進行還原，證明平面，要證明垂直于平面內的兩條相交直線，由正視圖可以知道為等腰三角形，且為底邊的中點，利用三線合一可以得到，再利用，結合直線與平面垂直的判定定理證明平面，于是得到，最終利用直線與平面垂直的判定定理得到平面；（2）注意到點為的中點，因此可以以、為鄰邊構造平行四邊形，連接交于點，利用中位線證明，再結合直線與平面平行的判定定理可以得到平面，最終利用勾股定理求的長度.
試題解析：（1）因為平面，所以，
又，所以平面，而，所以．
由三視圖得，在中，，為中點，
所以，又，平面
（2）如圖取的中點，連接并延長至，

使得，點即為所求．
因為為中點，所以，
因為平面，平面，所以平面，
連接，，四邊形的對角線互相平分，
所以為平行四邊形，所以，
又平面，所以在直角中，
得．