Question

【題目】在三棱錐S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC= ， SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是 ， 若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是

Answer 1

【答案】6π
【解析】解：如圖所示：
取AC中點D，連接SD，BD，則由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB為S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．
由題意：AB⊥BC，AB=BC= ， 易得：△ABC為等腰直角三角形，且AC=2，
又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，
在△SBD中，BD=AC=X2=1，
在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SDBDcos∠SDB=3+1﹣2×X1X=2，
滿足SB2=SD2﹣BD2 ， ∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC為頂點可以補成一個棱長為的正方體，S、A、B、C都在正方體的外接球上，
正方體的對角線為球的一條直徑，所以2R=X ， R= ， 球的表面積S=4πX=6π．
故答案為：6π．

審題后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要條件，根據定義，先作出它的平面角，如圖所示．進一步分析此三棱錐的結構特征，找出其外接球半徑的幾何或數量表示，再進行計算．