Question

如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分別為VA、VB、BC的中點．
（I）求證：平面EFG∥平面VCD；
（II）當二面角V-BC-A、V-DC-A分別為45°、30°時，求直線VB與平面EFG所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中E、F、G分別為VA、VB、BC的中點，根據三角形中位線定理可得，EF∥CD，FG∥VC，由面面平行的判定定理可得平面EFG∥平面VCD；
（II）方法一：由已知中二面角V-BC-A、V-DC-A分別為45°、30°，我們可得，∠VDA=30°，∠VBA=45°，作AH⊥VD，垂足為H，則AH⊥平面VCD，即AH即為B到平面VCD的距離，則直線VB與平面EFG所成的角等于直線VB與平面VCD所成的角，解三角形VAH，即可求出直線VB與平面EFG所成的角．
方法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設VA=VB=1，BC=，我們分別求出直線VB的方向向量和平面EFG的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線VB與平面EFG所成的角．
解答：解：（I）∵E、F、G分別為VA、VB、BC的中點，∴EF∥AB，FG∥VC，
又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD，
又∵EF?平面VCD，FG?平面VCD
∴EF∥平面VCD，FG∥平面VCD，
又EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面VCD． …（4分）

（II）方法一：
∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD．
則∠VDA為二面角V-DC-A的平面角，∠VDA=30°．
同理∠VBA=45°．  …（7分）
作AH⊥VD，垂足為H，由上可知CD⊥平面VAD，則AH⊥平面VCD．
∵AB∥平面VCD，∴AH即為B到平面VCD的距離．
由（I）知，平面EFG∥平面VCD，則直線VB與平面EFG所成的角等于直線VB與平面VCD所成的角，記這個角為θ．
∵AH=VA•sin60°=VA
VB=VA
∴sinθ==…（11分）
故直線VB與平面EFG所成的角arcsin   …（12分）
方法二：
∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD．
則∠VDA為二面角V-DC-A的平面角，∠VDA=30°．
同理∠VBA=45°．  …（7分）
建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設VA=VB=1，BC=，
則V（0，0，1），B（0，1，0），D（，0，0），C（，1，0）
設平面EFG的法向量為=（x，y，z），
則n亦為平面VCD的法向量．
∵=（0，1，0），=（，1，-1），
∴
則向量=（1，0，）為平面EFG的一個法向量
設直線VB與平面EFG所成的角為θ，
∵=（0，1，-1）則sinθ=|cos＜，＞==   …（11分）
故直線VB與平面EFG所成的角arcsin   …（12分）
點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，平面與平面平行的判定，直線與平面所成的角，其中（1）的關鍵是證得EF∥CD，FG∥VC，（II）中方法一的關鍵是得到直線VB與平面EFG所成的角等于直線VB與平面VCD所成的角，方法二的關鍵是建立適當的空間坐標系，將線面夾角問題轉化為向量夾角問題．