Question

如果函數f（x）在區間D上是凸函數，那么對于區間D內的任意x₁，x₂，…，x_n，都有

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

≤f（

x1+x2+…+xn

n

）．若y=sinx在區間（0，π）上是凸函數，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是

3 3

2

．

Answer 1

分析：依題意，y=sinx在區間（0，π）上是凸函數，則

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

π

3

，從而可得答案．

解答：解：∵y=sinx在區間（0，π）上是凸函數，且在△ABC中，A，B，C∈（0，π），A+B+C=π，
∴

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

=sin

π

3

=

3

2

，
∴sinA+sinB+sinC≤

3 3

2

．
故答案為：

3 3

2

．

點評：本題考查函數恒成立問題，理解新定義凸函數是難點，考查理解與轉化的能力，屬于中檔題．