Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）證明{a_n+1}是等比數列，并求a_n；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（I）在S_n=2a_n-n中，把n=1，n=2，n=3分別代入遞推公式可求a₁，a₂，a₃
（II）由S_n=2a_n-n可得S_n-1=2a_n-1-（n-1），兩式相減可整理可得an+1=2(an-1+1)，可證{a_n+1}是等比數列
（III）由b_n=（2n+1）a_n+2n+1可得b_n=（2n+1）•2ⁿ，利用錯位相減可求

解答：解：（I）∵S_n=2a_n-n，
當n=1時，由S₁=2a₁-1，可得a₁=1
當n=2時，由S₂=a₁+a₂=2a₂-2，可得a₂=3
當n=3時，由S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-3，可得a₃=7
證明：（II）∵S_n=2a_n-n
∴S_n-1=2a_n-1-（n-1）
兩式相減可得，a_n=2a_n-1+1，a₁+1=2
∴an+1=2(an-1+1)
所以{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列
∴a_n=2ⁿ-1
解：（III）∵b_n=（2n+1）a_n+2n+1
∴b_n=（2n+1）2^{n
∴T_n=3•2+5•22+…+（2n+1）•2n
2T_n=3•22+5•23+…（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1}
兩式相減可得，-T_n=3•2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2×

4(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n+1=2ⁿ⁺¹（1-2n）-2
∴T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式求解數列的項及通項公式，等比數列的證明及通項公式的應用，錯位相減求數列的和是數列求和中的重點和難點．