Question

已知函數f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當a=

1

3

時，方程f（x）=b恰有三個根，求實數b的取值范圍；
（2）當a=

1

3

時，是否存在區間[m，n]，使得函數的定義域與值域均為[m，n]，若存在請求出所有可能的區間[m，n]，若不存在請說明理由；
（3）若a＞0，函數f（x）在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的幾何意義，分類討論，確定函數的單調性，從而要使方程f（x）=b恰有三個根，只須g（

1

4

）＞0，g（

1

3

）＜0，從而可求實數b的取值范圍；
（2）分類討論，確定函數的單調性，求出函數的最值，即可求得結論；
（3）要使函數在（m，n）上既有最大值又有最小值，則最小值在x=a處取得，最大值在x=

3

4

a處取得．

解答：解：（1）設g（x）=4x²-x-b（x≥

1

3

）
令g′（x）=8x-1=0，可得x=

1

8

，
∵

1

8

＜

1

3

，∴g（x）在[

1

3

，+∞）上單調增；
g（x）=-2x²+x-b（x＜

1

3

）
令g′（x）=-4x+1=0，可得x=

1

4

，
∵

1

4

＜

1

3

，∴g（x）在（-∞，

1

4

）上單調增；g（x）在[

1

4

，

1

3

）上單調減；
要使方程f（x）=b恰有三個根，只須g（

1

4

）=-2（

1

4

）²+

1

4

-b=

1

8

-b＞0，∴b＜

1

8

g（

1

3

）=-2（

1

3

）²+

1

3

-b=

1

9

-b＜0，∴b＞

1

9

∴

1

9

＜b＜

1

8

；
（2）當m＜n≤

1

4

時，f（x）在區間[m，n]上單調遞增，所以

f(m)=m f(n)=n

，所以m=n，矛盾；
當m≤

1

4

≤n＜

1

3

時，n=f（

1

4

）=

1

8

，矛盾；
當m≤

1

4

＜

1

3

≤n時，n≥

1

3

＞

1

8

＞f（m），故f（x）在區間[m，n]上的最大值在[

1

3

，n]上取到
∵f（x）在[

1

3

，n]上單調遞增，∴n=f（n），∴n=

1

2

又m≤f(m)≤

1

8

，故m≤f(m)＜f(

1

6

)=f(

1

3

)=

1

9

，所以f（x）在區間[m，n]上的最小值在[m，

1

4

]上取到．
又f（x）在區間[-∞，

1

4

]上單調遞增，故m=f（m），∴m=0
故[m，n]=[0，

1

2

]
當

1

4

≤m＜n≤

1

3

時，由x∈[

1

4

，

1

3

]，

1

9

≤f(x)≤

1

8

知，

1

9

≤m，n≤

1

8

，矛盾．
當

1

4

≤m≤

1

3

＜n時，f（x）在區間[

1

4

，

1

3

]上單調遞減，[

1

3

，n]上單調遞增．故m=f(

1

3

)=

1

9

，矛盾
當

1

3

≤m＜n時，f（x）在區間[m，n]上單調遞增，故

f(m)=m f(n)=n

，得m=n=

1

2

，矛盾．
綜上所述

m=0 n= 1 2

，即存在區間[0，

1

2

]滿足條件．
（3）當a＞0時，函數的圖象如右，
要使得函數f（x）在開區間（m，n）內既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在x=

3

4

a處取得；
f（a）=a²，在區間（-∞，a）內，函數值為a²時x=

1

2

a，所以

1

2

a≤m＜

3

4

a；
f(

3

4

a)=

9

8

a2，而在區間（a，+∞）內函數值為

9

8

a2時x=

3+3 3

8

a，所以a＜n≤

3+3 3

8

a．…..（12分）

點評：本題考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．