Question

已知四面體S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是銳角三角形，H是點A在面SBC上的射影．求證：H不可能是△SBC的垂心．

Answer 1

解析:

假設H是△SBC的垂心，連結BH，并延長交SC于D點，則BH⊥SC

∵ AH⊥平面SBC，

∴ BH是AB在平面SBC內的射影

∴ SC⊥AB（三垂線定理）

又∵ SA⊥底面ABC，AC是SC在面內的射影

∴ AB⊥AC（三垂線定理的逆定理）

∴ △ABC是Rt△與已知△ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設不成立．

故H不可能是△SBC的垂心．