Question

已知函數，
（1）求函數在上的最小值；
（2）若函數與的圖像恰有一個公共點，求實數a的值；
（3）若函數有兩個不同的極值點，且，求實數a的取值范圍。

Answer 1

（1）當時最小值，當時最小值（2）3（3）

試題分析：（1）令，得，①當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增。此時最小值為；②當時，函數在上單調遞增，此時最小值為。
（2）在上有且僅有僅有一個根，即在上有且僅有僅有一個根，令，則，上遞增，所以。
（3），由題意知有兩個不同的實數根，等價于有兩個不同的實數根，等價于直線與函數的圖像有兩個不同的交點。
，所以當時，存在，且的值隨著的增大而增大。
而當時，則有，兩式相減得代入，解得此時，所以實數的取值范圍為
點評：第一小題求最值需對參數分情況討論從而確定最值點的位置，第二小題將方程的根的情況轉化為函數最值得判定，這種轉化方法包括將不等式恒成立問題轉化為函數最值問題都是函數題目中經常用到的思路，須加以重視