Question

點P在直徑為2的球面上，過P兩兩垂直的3條弦，若其中一條弦長是另一條的2倍，則這3條弦長之和的最大值是

 

．

Answer 1

分析：設三條弦長分別為x，2x，y，求出長方體的對角線的長，用橢圓的參數方程表示x，y，推出3條弦長之和的表達式，通過三角函數的化簡輔助角公式，求出最大值．

解答：解：設三條弦長分別為x，2x，y，則：x²+（2x）²+y²=4，即：5x²+y²=4，設

5

2

x=sinθ，  

1

2

y=cosθ，則這3條弦長之和=3x+y=

6

5

sinθ +2cosθ=

2 70

5

sin（θ+φ），其中tanφ=

5

3

，所以它的最大值為：

2 70

5

故答案為：

2 70

5

點評：本題是中檔題，考查球的內接多面體的就是問題，三角函數的化簡與求值，是綜合題目，考查計算能力，空間想象能力．