Question

為了治理“沙塵暴”，西部某地區政府經過多年努力，到2009年底，將當地沙漠綠化了40%，從2010年開始，每年將出現這種現象：原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經過幾年的綠化，才能使該地區的綠洲面積超過50%？（可參考數據lg2=0.3，最后結果精確到整數）.

Answer 1

至少需要4年才能使綠化面積超過50%

設該地區總面積為1，2006年底綠化面積為a₁=，經過n年后綠洲面積為a_n+1，設2009年底沙漠面積為b₁，經過n年后沙漠面積為b_n+1，則a₁+b₁=1，a_n+b_n=1.
依題意a_n+1由兩部分組成：一部分是原有綠洲a_n減去被侵蝕的部分8%·a_n的剩余面積92%·a_n，另一部分是新綠化的12%·b_n，所以
a_n+1=92%·a_n+12%(1-a_n)=a_n+,即a_n+1-=(a_n-),
∴是以-為首項，為公比的等比數列，
則a_n+1=-ⁿ,
∵a_n+1＞50%,∴-ⁿ＞,
∴ⁿ﹤,n＞log==3.
則當n≥4時，不等式ⁿ﹤恒成立.
所以至少需要4年才能使綠化面積超過50%.