Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求| |；
（2）已知點D是AB上一點，滿足 =λ ，點E是邊CB上一點，滿足 =λ ． ①當λ= 時，求 ；
②是否存在非零實數λ，使得 ⊥ ？若存在，求出的λ值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2﹣2CACBcos∠ACB

=12+22﹣2×1×2×cos60°

=3，

∴AB= ，即| |= ；

（2）解：①λ= 時， = ， = ，

∴D、E分別是BC，AB的中點，

∴ = + = + ，

= （ + ），

∴ =（ + ） （ + ）

= + + +

=﹣ ×12+ ×1×2×cos120°+ ×2×1×cos60°+ ×22

= ；

②假設存在非零實數λ，使得 ⊥ ，

由 =λ ，得 =λ（ ﹣ ），

∴ = + = +λ（ ﹣ ）=λ +（1﹣λ） ；

又 =λ ，

∴ = + =（ ﹣ ）+λ（﹣ ）=（1﹣λ） ﹣ ；

∴ =λ（1﹣λ） ﹣λ +（1﹣λ）2 ﹣（1﹣λ）

=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）

=﹣3λ2+2λ=0，

解得λ= 或λ=0（不合題意，舍去）；

即存在非零實數λ= ，使得 ⊥ ．

【解析】（1）利用余弦定理求出AB的長即得| |；（2）①λ= 時，D、E分別是BC，AB的中點，求出 、 的數量積即可；②假設存在非零實數λ，使得 ⊥ ，利用 、 分別表示出 和 ，

求出 =0時的λ值即可．