Question

已知偶函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈[0，1]時，f（x）=x，則方程f（x）=|log₃x|的實數解共有（　　）

• A、1個
• B、4個
• C、3個
• D、2個

Answer 1

分析：由f（x+1）=f（x-1），得f（x+2）=f（x）得函數的周期為2，根據函數的周期性和奇偶性作出函數f（x）與y=|log₃x|的圖象，即可得到結論．

解答：解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），即函數的周期為2，
∵x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=-x．
作出函數f（x）與y=|log₃x|的圖象如圖：
由圖象可知兩個圖象的交點個數為3個，
故方程f（x）=|log₃x|的實數解有3個，
故選：C．

點評：本題主要考查方程根的個數的判斷，利用條件求出函數的周期性，根據方程和函數之間的關系，轉化為兩個函數圖象的交點問題是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決本題的基本思想．