Question

【題目】設橢圓E： +y2=1（a＞1）的右焦點為F，右頂點為A，已知 ，其中O為原點，e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）動直線l過點N（﹣2，0），l與橢圓E交于P，Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓E： +y2=1（a＞1）的右焦點為F，b=1，由橢圓的幾何性質可知：丨FA丨=a﹣c，丨OF丨=c，丨OA丨=a，
由 ，整理得（a﹣c）（ ）= ，整理得：a2=2c2 ，
由a2﹣c2=b2=1，解得：c=1，則a= ，
∴a的值 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：橢圓的標準方程為： ，
由題l與x軸不重合，設l的方程是x=my﹣2，
由 ，整理得（my﹣2）2+2y2﹣2=0，
即（m2+2）y2﹣4my+2=0，
∵直線與橢圓有相異交點，
△=16m2﹣8（m2+2）＞0，解得m＞ 或m＜﹣ ，
由韋達定理可知：y1+y2= ，y1y2= ，
由△OPQ面積S= 丨ON丨丨y1﹣y2丨= 丨ON丨 = ，
令t= ＞0，
則S= = ≤ = ．
當且僅當t=2，即m=± 時，△OPQ面積的最大，最大值是 ．

【解析】（Ⅰ）由橢圓的性質可知：丨FA丨=a﹣c，丨OF丨=c，丨OA丨=a，代入 ，求得a2=2c2 ， 由a2﹣c2=b2=1，即可求得a= ；（Ⅱ）由題意可知：設l的方程是x=my﹣2，代入橢圓方程，由△＞0求得m的取值范圍，根據韋達定理及三角形的面積公式S= 丨ON丨 = ，令t= ＞0，則S= = ≤ = ，即可求得m的最大值．