Question

設a為實數，函數f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設函數h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

分析：（1）f（0）≥1?-a|a|≥1再去絕對值求a的取值范圍，
（2）分x≥a和x＜a兩種情況來討論去絕對值，再對每一段分別求最小值，借助二次函數的對稱軸及單調性．最后綜合即可．
（3）h（x）≥1轉化為3x²-2ax+a²-1≥0，因為不等式的解集由對應方程的根決定，所以再對其對應的判別式分三種情況討論求得對應解集即可．

解答：解：（1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1?

a＜0 a2≥1

?a≤-1
（2）當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²，∴f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2 3 a2，a＜0

，
如圖所示：

當x≤a時，f（x）=x²+2ax-a²，
∴f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．

綜上所述：f(x)min=

-2a2，a≥0 2 3 a2  a＜0

．
（3）x∈（a，+∞）時，h（x）≥1，
得3x²-2ax+a²-1≥0，△=4a²-12（a²-1）=12-8a²
當a≤-

6

2

或a≥

6

2

時，△≤0，x∈（a，+∞）；
當-

6

2

＜a＜

6

2

時，△＞0，得：

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 ) ≥0 x＞a

即

x≤ a- 3-2a2 3 或x≥ a+ 3-2a2 3 x＞a

綜上可得，
當a∈（-∞，-

6

2

）∪（

6

2

，+∞）時，不等式組的解集為（a，+∞）；
當a∈（-

6

2

，-

2

2

）時，不等式組的解集為（a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞）；
當a∈[-

2

2

，

2

2

]時，不等式組的解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．

點評：本題考查了分段函數的最值問題．分段函數的最值的求法是先對每一段分別求最值，最后綜合最大的為整個函數的最大值，最小的為整個函數的最小值．