Question

若數列{a_n}的前n項和為S_n，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，
（1）求a₁的值；
（2）求證：(an-2)2-an-12=0(n≥2)；
（3）求出所有滿足條件的數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}的前n項和為S_n，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，令n=1，能求出a₁．
（2）由4Sn=an2+4n-1，n∈N*，知4Sn-1=an-12+4(n-1)-1，n∈N*，由此得以4an=an2-an-12+4，由此能證明(an-2)2-an-12=0(n≥2)．
（3）由（2）得a_n-a_n-1=2或a_n+a_n-1=2，由此能求出通項公式．

解答：解：（1）∵數列{a_n}的前n項和為S_n，且有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，
∴n=1代入得4a₁=a12+4n-1，
解得a₁=1或a₁=3．…（2分）
（2）已知有4Sn=an2+4n-1，n∈N*，①
當n≥2時，有4Sn-1=an-12+4(n-1)-1，n∈N*②…（4分）
①-②得：4an=an2-an-12+4，
即(an-2)2-an-12=0(n≥2)．　…（6分）
（3）由（2）得a_n-a_n-1=2或a_n+a_n-1=2，…（7分）
由

a1=1 an-an-1=2

得通項公式為：an=2n-1(n∈N*)；　　…（8分）
由

a1=1 an+an-1=2

得通項公式為：an=1(n∈N*)；　　　　…（9分）
由

a1=3 an-an-1=2

得通項公式為：an=2n+1(n∈N*)；　　…（10分）
由

a1=3 an+an-1=2

得通項公式為：an=1+2(-1)n+1(n∈N*)；…（11分）
則所求通項公式為an=2n-1，an=2n+1，an=1，an=1+2(-1)n+1．…（12分）

點評：本題考查數列的首項的求法，考查等式的證明，考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．