Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，左頂點為，過點A作斜率為的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點P為的中點，是否存在定點Q，對于任意的都有？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由；

（3）若過點O作直線l的平行線交橢圓C于點M，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）.

【解析】

（1）根據條件可直接求出答案

（2）聯立直線l的方程與橢圓的方程消元，用表示出點坐標，然后可得P點坐標，假設存在頂點，使得，則，即，然后推出，即可得到答案

（3）首先得出M點橫坐標為，然后可得，然后用基本不等式求解即可.

（1）由橢圓的左頂點，則，又，則，

又，

∴橢圓的標準方程為：；

（2）由直線l的方程為，

由，整理得：，

由是方程的根，由韋達定理可知：，則，

當，，

∴，

由P為的中點，

∴P點坐標，

直線l的方程為，令，得，

假設存在定點，使得，

則，即，

，，

∴

即恒成立，

∴，即，

∴頂點Q的坐標為；

（3）由，則的方程為，

，則M點橫坐標為，

由，可知，

，

當且僅當，即時，取等號，

∴當時，的最小值為.