Question

【題目】已知函數g（x）= +lnx在[1，+∞）上為增函數，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣ ﹣lnx（m∈R）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一個x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意， ≥0在[1，+∞）上恒成立，即 ．∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθx﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只須sinθ1﹣1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．結合θ∈（0，π），得 ．
2）由（1），得f（x）﹣g（x）= ．
∴ ．
∵f（x）﹣g（x）在其定義域內為單調函數，
∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等價于m（1+x2）≥2x，即 ，
而 ，（ ）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等價于m（1+x2）≤2x，即
在[1，+∞）恒成立，而 ∈（0，1]，m≤0．
綜上，m的取值范圍是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
3）構造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x）， ．
當m≤0時，x∈[1，e]， ， ，
所以在[1，e]上不存在一個x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．
當m＞0時， ．
因為x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調遞增， ，只要 ，
解得 ．
故m的取值范圍是
【解析】（1）由題意可知 ．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，結合θ∈（0，π），可以得到θ的值．（2）由題設條件知 ．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知 ，由此可知m的取值范圍．（3）構造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x）， ．由此入手可以得到m的取值范圍是 ．
【考點精析】掌握函數單調性的性質和利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．