Question

【題目】三棱柱中，平面平面，，點為棱的中點，點為線段上的動點.

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）可證面，從而可得.

（2）可證點為線段的三等分點，再過作于，過作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數的基本關系式可求.

證明：（1）因為為中點，所以.

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，而平面，故，

又因為，所以，則，

又，故面，又面，所以.

（2）由（1）可得：面在面內的射影為，

則為直線與平面所成的角，即.

因為，所以，所以，所以，

即點為線段的三等分點.

解法一：過作于，則平面，

所以，過作，垂足為，

則為二面角的平面角,

因為，，，

則在中，有，

所以二面角的平面角的正切值為.

解法二：以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

設點，由得：，

即，，，點，

平面的一個法向量，

又，，

設平面的一個法向量為，

則，令，則平面的一個法向量為.

設二面角的平面角為，則，

即，所以二面角的正切值為.