Question

將函數f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個單位，再將圖象上的所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數y=g（x）的解析式和定義域；
（2）求函數y=F（x）=f（x-1）-g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據函數的圖象的平移變換和伸縮變換規律求得函數g（x）的解析式．
（2）根據函數y=F（x）=log2

x

(x+2)2

，x＞0，令u(x)=

x

(x+2)2

，x＞0，則利用基本不等式求得u的最大值為

1

8

，再由F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數，求得函數y=F（x）的最大值．

解答：解：（1）將函數f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個單位，可得函數y=log₂（x+2）的圖象，
再將圖象上的所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數y=2log₂（x+2）的圖象，
故函數g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．…（4分）
（2）函數y=F（x）=f（x-1）-g（x）=log₂（x）-2log₂（x+2）=log2

x

(x+2)2

，x＞0．…（6分）
令u(x)=

x

(x+2)2

，x＞0，則u=

x

x2+4x+4

=

1

x+ 4 x +4

≤

1

8

，當且僅當x=2時取等號．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數，…（10分）
故當x=2時，即u=

1

8

時，函數y=F（x）=log₂u取得最大值為 log2

1

8

=-3． …（12分）

點評：本題主要考查函數的圖象的平移變換和伸縮變換，基本不等式的應用，利用函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題．