Question

在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分別是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中點．

求證：(1)E、F、B、D四點共面；

(2)平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：如圖，(1)連結B1D1． 　　∵E、F是B1C1、C1D1的中點，∴EFB1D1． 　　∵D1DB1B，∴D1B1BD是矩形． 　　∴D1B1∥DB．∴EF∥DB． 　　∴EF與DB確定一個平面． 　　故E、F、B、D四點共面． 　　(2)∵M、N是A1B1、A1D1的中點， 　　∴MN∥D1B1∥EF． 　　∴MN∥平面EFDB． 　　連結NE，則NEA1B1AB， 　　∴NEBA是平行四邊形． 　　∴AN∥BE．∴AN∥平面BEDF． 　　∵AN、MN都在平面AMN內，且AN∩MN＝N， 　　∴平面AMN∥平面EFBD． 　　方法歸納：證“面面平行”，要先證“線線平行”，進而要證“線面平行”，最后證得面面平行，這就是立體幾何中最常用的化歸思想(線線、線面及面面關系的相互轉化)．

提示：

要證四點共面，可考慮確定平面的方法，而證明面面平行當然首先考慮判定定理．