Question

f(x)在定義域內可導，若f(1-x)=f(1+x)，且當x∈(-∞，1)時，有(x-1)f′(x)＜0

，設a=f(0)，b=f(

1

2

)，c=f（3），則（　　）

A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜c＜a

Answer 1

分析：根據當x∈（-∞，1）時，有（x-1）f^′（x）＜0，推出在x∈（-∞，1）時，f^′（x）＞0，從而得到函數f（x）在x∈（-∞，1）時的單調性，再根據函數滿足f（1-x）=f（1+x）得到函數的對稱軸，根據x的取值離對稱軸的遠近可以求得a、b、c的大小．

解答：解：因為當x∈（-∞，1）時，有（x-1）f^′（x）＜0，
由x∈（-∞，1），∴x-1＜0，所以f^′（x）＞0，所以函數f（x）在（-∞，1）上為增函數，
又函數滿足f（1-x）=f（1+x），所以f（3）=f（-1），
∵-1＜0＜

1

2

＜1，∴f(

1

2

)＞f(0)＞f（-1），
所以f(

1

2

)＞f(0)＞f(3)，即b＞a＞c．
故選C．

點評：本題考查了導數的運算，考查了函數單調性，考查了函數導函數的符號與原函數增減性的關系，此題是中檔題．