Question

設橢圓過點M（，1），且左焦點為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）判斷是否存在經過定點（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點并且滿足·，若存在求出直線l的方程，不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵左焦點為F₁（﹣，0），
∴c²=a²﹣b²=2，
∵橢圓過點M（，1），
∴，
聯立，得a²=4，b²=2，
∴橢圓C方程：．
（2）存在經過定點（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點并且滿足●．
設直線l為y=kx+2，把y=kx+2代入，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=，
∵，∴，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
解得k=，
∴直線l為．