Question

【題目】已知橢圓C：（）的短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設M，N分別為橢圓C的左、右頂點，過點且不與x軸重合的直線與橢圓C相交于A，B兩點是否存在實數t（），使得直線：與直線的交點P滿足P，A，M三點共線？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在，直線：

【解析】

（1）利用橢圓的幾何性質建立方程組求解即可；

（2）假設存在滿足題意的直線，先設出的方程，設出，、，，聯立方程組得出根與系數關系，然后求出點坐標，利用三點共線建立方程，將根與系數關系代入整理、化簡、求解即可．

解：（1）由于短軸長為，所以，.

又離心率，且，解得.

所以橢圓C的標準方程為.

（2）假設存在直線滿足條件，設的方程為，且，.

聯立方程組，消去x可得，

，

，.

由于，，所以直線的方程為，

則：（）與直線的交點P的坐標為，且，.

當，，三點共線時有與共線.

所以，即.

由于，所以，

所以，解得，所以存在直線：滿足條件.