Question

已知函數f(x)=-

x

1+|x|

，則滿足f（2-x²）+f（x）＜0的x的取值范圍是

（-1，2）

．

Answer 1

分析：根據奇偶性定義判斷出該函數為奇函數，再將f（2-x²）+f（x）＜0變形為f（x）＜f（x²-2），利用函數的單調性列出不等關系，求解即可得到x的取值范圍．

解答：解：∵函數f(x)=-

x

1+|x|

，定義域為R，
∴f（-x）=-

-x

1+|-x|

=

1

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）為奇函數，
當x＞0時，f（x）=-

x

1+x

=-

1

1 x +1

，
∴f（x）在（0，+∞）上為單調減函數，
根據奇函數在對稱區間上單調性相同，可得f（x）在R上為單調減函數，
將不等式f（2-x²）+f（x）＜0變形為f（x）＜-f（2-x²），根據f（x）=-f（x），
∴f（x）＜f（x²-2），
又f（x）在R上為單調減函數，
∴x＞x²-2，即x²-x-2＜0，解得，-1＜x＜2，
∴滿足f（2-x²）+f（x）＜0的x的取值范圍是（-1，2）．
故答案為：（-1，2）．

點評：本題考查了函數的奇偶性與函數的單調性，以及解不等式，解題的關鍵是利用函數的單調性，轉化為一元二次不等式．屬于基礎題．