【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若函數的圖像與
軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數
，
，都有
.
【答案】（1）當
時，
在
上單調遞增；
當
時，在
單調遞增，在
上單調遞減.,(2)見解析
【解析】
（1）求導函數
，按和分類討論，確定的正負，從而確定單調性；
（2）由（1）知時
有極值，才可能滿足題意，極大值為0，求得
，
.不妨設
，則
，等價于
，即證：
令
，由于
，因此只要證得
（
）即可．
（1）函數的定義域為，
.
當時，
，在上單調遞增；
當時，由
，得
.
若
，，單調遞增；
若
，
，單調遞減
綜合上述：當時，在上單調遞增；
當時，在單調遞增，在上單調遞減.
（2）由（1）知，當時，在上單調遞增，不滿足條件；
當時，的極大值為
，
由已知得
，故，此時.
不妨設，則
等價于，即證：
令，
故
在
單調遞減，所以
.
所以對于任意互不相等的正實數
，都有成立
長江作業本同步練習冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某機構組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習慣的了解程度．在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據自己的喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結果．設小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD，家長猜測的序號依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個數字的一種排列．定義隨機變量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度．
（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解．
（ⅰ）求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程）；
（2）若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結果都滿足X＜4，請判斷這位家長對小孩飲食習慣是否了解，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市房管局為了了解該市市民
年
月至
年月期間買二手房情況，首先隨機抽樣其中
名購房者，并對其購房面積
（單位：平方米，
）進行了一次調查統計，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，接著調查了該市年月至年月期間當月在售二手房均價
（單位：萬元/平方米），制成了如圖
所示的散點圖（圖中月份代碼
分別對應年月至年月）.
（1）試估計該市市民的購房面積的中位數
；
（2）從該市年月至年月期間所有購買二手房中的市民中任取
人，用頻率估計概率，記這人購房面積不低于
平方米的人數為
，求的數學期望；
（3）根據散點圖選擇
和
兩個模型進行擬合，經過數據處理得到兩個回歸方程，分別為
和
，并得到一些統計量的值如下表所示：
|
| |
|
|
|
|
| |
請利用相關指數
判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預測出年
月份的二手房購房均價（精確到
）
（參考數據）
，
，
，
，
，
，
.
（參考公式）
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：極坐標與參數方程
在極坐標系下，已知圓O：
和直線
（1）求圓O和直線l的直角坐標方程；
（2）當
時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直角梯形
與等腰直角三角形
所在的平面互相垂直．
，
，
，
.
(1) 求證：
；
(2) 求直線
與平面所成角的正弦值；
(3) 線段
上是否存在點
，使
平面
若存在，求出
；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
上一點
到其焦點的距離為
.
（1）求
與
的值；
（2）若斜率為
的直線
與拋物線
交于
、
兩點，點
為拋物線上一點，其橫坐標為1，記直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，試問：
是否為定值？并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱的定價為
元，低于
箱按原價銷售，不低于箱則有以下兩種優惠方案：①以箱為基準，每多
箱送
箱；②通過雙方議價，買方能以優惠
成交的概率為
，以優惠
成交的概率為
.
甲、乙兩單位都要在該廠購買
箱這種零件，兩單位都選擇方案②，且各自達成的成交價格相互獨立，求甲單位優惠比例不低于乙單位優惠比例的概率；
某單位需要這種零件
箱，以購買總價的數學期望為決策依據，試問該單位選擇哪種優惠方案更劃算？
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