Question

【題目】若二次函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）滿足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（2x），求g（x）在[﹣3，0]的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=3，得c=3，

∴f（x）=ax2+bx+3．

又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，

∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，

即2ax+a+b=4x+1，

∴ ∴

∴f（x）=2x2﹣x+3

（2）解：g（x）=f（2x）=222x﹣2x+3，

令2x=t， ，

∴h（t）=2t2﹣t+3，

時，g（x）max=h（t）max=h（1）=2﹣1+3=4，

g（x）min=h（t）min=h（ ）= ﹣ +3=

【解析】（1）根據待定系數法即可求出函數的解析式，（2）利用換元法和函數的性質即可求出最值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．