Question

【題目】在數列{an}中，a1=1，an+1=（1+ ）an+ ．
（1）設bn= ，求數列{bn}的通項公式；
（2）求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得b1=a1=1，且 = + ，

即bn+1=bn+ ，從而b2=b1+ ，

b3=b2+ ，

bn=bn﹣1+ （n≥2）．

于是bn=b1+ + +…+ =2﹣ （n≥2）．

又b1=1，

故所求的通項公式為bn=2﹣

（2）解：由（1）知an=2n﹣ ，

故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），

設Tn=1+ + + +…+ ，①

Tn= + + +…+ + ，②

①﹣②得，

Tn=1+ + + +…+ ﹣

= ﹣ =2﹣ ﹣ ，

∴Tn=4﹣ ．

∴Sn=n（n+1）+ ﹣4

【解析】（1）由已知得 = + ，即bn+1=bn+ ，由此能夠推導出所求的通項公式．（2）由題設知an=2n﹣ ，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），設Tn=1+ + + +…+ ，由錯位相減法能求出Tn=4﹣ ．從而導出數列{an}的前n項和Sn ．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．