Question

在△ABC中，已知角A、B、C．所對的邊分別是a、b、c，邊c=

7

2

，且tanA+tanB=

3

-

3

tanA．tanB，又△ABC的面積為S△ABC=

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：將已知等式tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB變形后，利用兩角和與差的正切函數公式及誘導公式化簡，求出tanC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出C的度數，進而確定出sinC與cosC的值，由已知的面積及sinC的值，利用三角形的面積公式求出ab的值，再由c及cosC的值，利用余弦定理及完全平方公式列出關系式，將ab的值代入，開方即可求出a+b的值．

解答：解：∵tanA+tanB=

3

-

3

tanAtanB，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3

，即tan（A+B）=

3

，
∴tan（π-C）=

3

，即tanC=-

3

，
∵C為三角形的內角，
∴C=

2π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

ab×

3

2

=

3 3

2

，∴ab=6，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：（

7

2

）²=a²+b²-2abcos

2π

3

，
∴a²+b²+ab=（a+b）²-ab=（a+b）²-6=

49

4

，即（a+b）²=

73

4

，
∵a+b＞0，
∴a+b=

73

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，三角形的面積公式，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．