Question

【題目】生產某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件，需要另投入成本為C（x），當年產量不足80千件時，C（x）= +20x（萬元），當年產量不小于80千件時，C（x）=51x+ ﹣1450（萬元），通過市場分析，每件商品售價為0.05萬元時，該商品能全部售完．
（1）寫出年利潤L（x）（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式（利潤=銷售額﹣成本）；
（2）年產量為多少千件時，生產該商品獲得的利潤最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，

依題意得，當0≤x＜80時， = ，

當x≥80時， =

（2）解：當0≤x＜80時， ．

，x=±60．

此時，當x=60時，L（x）取得最大值L（60）=950（萬元）

當x≥80時， ，

當且僅當 ，即x=100時，L（x）取得最大值1000（萬元）．

因為950＜1000，所以當年產量為100千件時，生產該商品獲利潤最大．

答：當年產量為100 千件時，生產該商品獲利潤最大

【解析】（1）因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，推出當0≤x＜80時，當x≥80時，的函數的解析式即可．（2）當0≤x＜80時，利用函數的導數求解函數的最值，當x≥80時，利用基本不等式求解函數的最值，推出結果．