Question

已知圓的圓心C在直線y=-2x上，且與直線x+y-1=0相切于點A（2，-1）
（1）求圓C的方程
（2）經過點B（8，-3）的一束光線射到T（t，0）后被x軸反射，反射光線與圓C有公共點，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，可得圓心C（a，b），把圓心C坐標代入y=-2x得到關于a與b的方程，再由切點A在圓上，把A的坐標代入所設的圓C方程，得到一個關系式，再由切線的性質可得直線AO與切線垂直，由切線的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得出關于a與b的另一個方程，把兩個關于a與b的方程聯立組成方程組，求出方程的解集得到a與b的值，再把求出的a與b的值代入關系式中求出r²，即可確定出圓C的方程；
（2）求出B關系x軸的對稱點B′，設反射線方程的斜率為k，表示出反射線的方程，記作（ξ），當該直線與圓C相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的兩個值，可得出光的反射線與圓C有公共點時k的范圍，把反射點T的坐標代入（ξ）中，用k表示出t，根據此時函數為增函數，由k的范圍即可求出t的范圍．

解答：解：（1）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
根據題意得：

2a+b=0 (2-a)2+(1-b)2=r2 b+1 a-2 ×(-1)=-1

，
解得：

a=1 b=-2 r2=2

，
則圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=2；
（2）易知點B（8，-3）關于x軸的對稱點為B′（8，3），
則設光的反射線方程為y-3=k（x-8），即kx-y+3-8k=0（ξ），
若該直線與圓C相切，則有

|5-7k|

k2+1

=

2

，
解得：k=1或k=

23

47

，
則當光的反射線與圓有公共點時，k∈[

23

47

，1]，
將T（t，0）代入（ξ）中得：t=8-

3

k

，
該函數在[

23

47

，1]上是增函數，
則實數t的范圍是[

43

23

，5]．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，兩直線垂直時斜率滿足的關系，關于坐標軸對稱的點的特點，切線的性質，以及函數增減性的運用，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．