Question

【題目】已知a是實數，函數f（x）=x2（x﹣a）． （Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區間[0，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）f'（x）=3x2﹣2ax．因為f'（1）=3﹣2a=3，所以a=0． 又當a=0時，f（1）=1，f'（1）=3，則切點坐標（1，1），斜率為3
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=3（x﹣1）化簡得3x﹣y﹣2=0．
（II）令f'（x）=0，解得 ．
當 ，即a≤0時，f（x）在[0，2]上單調遞增，從而fmax=f（2）=8﹣4a．
當 時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上單調遞減，從而fmax=f（0）=0．
當 ，即0＜a＜3，f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，從而
綜上所述，fmax=
【解析】（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切點，而切線的斜率等于f'（1）=3，寫出切線方程即可；（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三個區間討論f'（x）的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到函數的最大值．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．