Question

在某兩個正數x，y之間，若插入一個正數a，使x，a，y成等比數列；若插入兩個正數b，c，使x，b，c，y成等差數列，求證：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．

Answer 1

∵x，a，y成等比數列
∴a²=xy
∵a＞1
∴a=

xy

∵x，b，c，y成等差數列
∴b-x=c-b=y-c
即b=

2x+y

3

，c=

x+2y

3

∴（b+1）（c+1）=(

2x+y

3

+1)（

x+2y

3

+1）=

2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9

9

∵x＞0，y＞0
∴

2(x2+y2)+5xy+9x+9y+9

9

≥

2×(2xy)+5xy

9

+2

xy

+1=(

xy

+1)2=（a+1）²
即：（a+1）²≤（b+1）（c+1）．