Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直線m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）是否存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+6x-6a，f′（-1）=0，
即3a-6-6a=0，∴a=-2．
（2）∵直線m恒過(guò)定點(diǎn)（0，9），先求直線m是曲線y=g（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，3x₀²+6x₀+12），
∵g′（x₀）=6x₀+6，
∴切線方程為y-（3x₀²+6x₀+12）=（6x₀+6）（x-x₀），將點(diǎn)（0，9）代入，得x₀=±1，
當(dāng)x₀=-1時(shí)，切線方程為y=9；
當(dāng)x₀=1時(shí)，切線方程為y=12x+9．
由f′（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1或x=2，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=f（x）的切線方程為y=-18；
當(dāng)x=2時(shí)，y=f（x）的切線方程為y=9．
∴公切線是y=9．
又有f′（x）=12得-6x²+6x+12=12，∴x=0或x=1．
當(dāng)x=0時(shí)，y=f（x）的切線方程為y=12x-11；
當(dāng)x=1時(shí)，y=f（x）的切線方程為y=12x-10，
∴公切線不是y=12x+9．
綜上所述公切線是y=9，此時(shí)存在，k=0．
分析：（1）由題中條件：“f′（-1）=0”，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入計(jì)算f′（-1）的值，即可求得a的值；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是曲線y=g（x）的切線，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線y=g（x）的切線和曲線y=f（x）的切線，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．