Question

已知定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足：
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當x∈（1，2]時f（x）=2-x給出結論如下：
①任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函數f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“函數f（x）在區間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k-1）．
其中所有正確結論的序號是

 

Answer 1

分析：依據題中條件注意研究每個選項的正確性，連續利用題中第（1）個條件得到①正確；
連續利用題中第（2）個條件得到②正確；
利用反證法及2^x變化如下：2，4，8，16，32，判斷③命題錯誤；
據①②③的正確性可得④是正確的．

解答：解：①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），正確；
②取x∈（2^m，2^m+1），則

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，從而
f（x）=2f（

x

2

）=…=2^mf（

x

2m

）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
從而f（x）∈[0，+∞），正確；
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假設存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，2x1-2x2=10，又，2^x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在，所以該命題錯誤；
④根據前面的分析容易知道該選項正確；
綜合有正確的序號是①②④．

點評：本題通過抽象函數，考查了函數的周期性，單調性，以及學生的綜合分析能力，難度不大．