Question

（2004•朝陽區一模）已知動雙曲線的右頂點在拋物線y²=x-1上，實軸長為定值4，右準線恰為y軸．
（Ⅰ）求動雙曲線中心的軌跡方程；
（Ⅱ）求虛半軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設設雙曲線的中心為M（x，y），由于右準線為y軸，故x＜0．再根據實軸長為4，得雙曲線的右頂點為（x+2，y）．由題意知點（x+2，y）在拋物線y²=x-1上，由此能求出動雙曲線中心的軌跡方程．
（Ⅱ）先設雙曲線方程為

(x-x0)2

a2

-

(y-y0)2

b2

=1(a＞0，b＞0)．可得右準線為x=x0+

a2

c

．而右準線方程為x=0，從而有x0=-

a2

c

=-

4

4+b2

．由（Ⅰ）知

y

2 0

=x0+1，故

y

2 0

=-

4

4+b2

+1≥0．由此建立關于b的不等關系即可求出虛半軸長的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）：設雙曲線的中心為（x，y），由于右準線為y軸，故x＜0．
∵實軸長為4，故a=2．
∴雙曲線的右頂點為（x+2，y）．
由題意知點（x+2，y）在拋物線y²=x-1上，
∴y²=（x+2）-1=x+1．
∴雙曲線中心的軌跡方程為y²=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）
（Ⅱ）：設雙曲線方程為

(x-x0)2

a2

-

(y-y0)2

b2

=1(a＞0，b＞0)．
∵a=2，故c=

a2+b2

．
由x-x0=

a2

c

，得右準線為x=x0+

a2

c

．
而右準線方程為x=0，
∴x0+

a2

c

=0．
∴x0=-

a2

c

=-

4

4+b2

．
由（Ⅰ）知

y

2 0

=x0+1，
故

y

2 0

=-

4

4+b2

+1≥0．
化簡得b²≥12，故b≥2

3

．
∴虛半軸長的取值范圍是[2

3

，+∞)．…（14分）

點評：本題主要考查拋物線標準方程，雙曲線的簡單幾何性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉化思想．