Question

已知S_n是正項數列{a_n}的前n項和，且

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）若bn=

an

2n

，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）若bn≤

1

4

m2-m-

1

2

對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項，可得Sn=

1

4

(an+1)2，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，兩式相減可求．
（2）bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

++

2n-1

2n

，故用裂項求和法求解；
（3）先求數列{b_n}的最大值，進而轉化為解不等式

3

4

≤

1

4

m2-m-

1

2

．從而求出參數范圍．

解答：解：（1）當 n≥2時，Sn=

1

4

(an+1)2，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
兩式相減，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于數列{a_n}是正項數列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以數列{a_n}是首項a₁=1，d=2的等差數列，a_n=2n-1；
（2）bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

++

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

++

2n-1

2n+1

相減化簡得Tn=3-

2n+3

2n

（3）∵bn+1-bn=

3-2n

2n+1

當n=1，b₂＞b₁，當n≥2，b_n+1＜b_n，故當n=2時，b₂取到最大值

3

4

．
又bn≤

1

4

m2-m-

1

2

對一切正整數n恒成立，即

3

4

≤

1

4

m2-m-

1

2

解得m≤-1或m≥5

點評：本題主要考查等差數列的定義，裂項求和法及借助于最值解決恒成立問題，屬于中檔題．