Question

下圖為一幾何體的展開圖.

(單位:cm)

（1）沿圖中虛線將它們折疊起來，是哪一種特殊幾何體？并請畫出其直觀圖，比例尺是1∶2；

（2）需要多少個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為6 cm的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，請畫出其示意圖（需在示意圖中分別表示出這種幾何體）；

（3）設正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點為E，試求：異面直線EB與AB₁所成角的余弦值及平面AB₁E與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

解：（1）折疊后是有一條側棱垂直于底面的四棱錐,直觀圖如下.3分

     

（2）需要3個這樣的幾何體.5分

（3）①取DD₁中點F，連結AF，則AF∥BE.

∴∠FAB₁為異面直線EB與AB₁所成的角.

易計算得 B₁F=9，AF=3，AB₁=6，7分

∴cos∠FAB₁===.

∴異面直線EB與AB₁所成角的余弦值為.

②設B₁E、BC的延長線交于點G，連結GA，則GA為平面AB₁E與平面ABC所成二面角的棱,在底面ABC內作BH⊥AG，垂足為H.連結HB₁，由三垂線定理知B₁H⊥AG，

∴∠B₁HB為平面AB₁E與平面ABC所成二面角的平面角. 

在Rt△ABG中，BH==，

∴HB₁===.

∴cos∠B₁HB===.

∴平面AB₁E與平面ABC所成二面角的余弦值為.